7:07:00 PM
|
by Bernad Adjie
Baru saja buka di internet ternyata benar sedang heboh soal Matematika SD Hongkong. Soal yang dimaksud seperti gambar berikut.
Jujur saya lihat soal itu baru kemarin di kantor. Ada teman yang tiba-tiba memanggil saya dan menunjukkan soal tersebut. Ketika melihat soal awalnya syok juga. Yakin ini soal SD yang katanya harus dijawab dalam waktu 20 detik. Anak SD di Hongkong luar biasa cerdasnya berarti sudah mendapat materi barisan serumit ini.
8:48:00 PM
|
by Bernad Adjie
Terbatas ke Atas
Diketahui himpunan A ⊂ ℝ
A dikatakan terbatas ke atas jika ∃ b ∈ ℝ sedemikian hingga x ≤ b, ∀ x ∈ A
b disebut batas atas A
Jika b batas atas A dan c > b, maka c juga batas atas A.
Jadi, jika A terbatas ke atas maka ada tak hingga banyak batas atas A.
Batas atas A yang paling kecil, disebut supremum A, yang ditulis: sup A.
(i) b batas atas A
(ii) c batas atas A ⇒ b ≤ c
(i) b batas atas A
(ii) c < b ⇒ c bukan batas atas A
- jika b = sup A dan c < b, maka ∃ xo ∈ A sedemikian hingga c < xo
Terbatas ke Bawah
5:36:00 PM
|
by Bernad Adjie
Definisi:
Fungsi f : D ⊆ ℝ2 → ℝ dikatakan mencapai
(i) maksimum relatif di (a,b) ∈ D, jika terdapat r>0, dengan sifat ∀ (x,y) ∈ D, (x-a)2 +
(y-b)2 < r2 berlaku
f(x,y) ≤ f(a,b)
(ii) minimum relatif di (a,b) ∈ D, jika ∃ r>0, dengan sifat ∀ (x,y) ∈ D, (x-a)2 +
(y-b)2 < r2 berlaku
f(a,b) ≤ f(x,y)
(iii) maksimum mutlak di (a,b) ∈ D, jika ∀ (x,y) ∈ D, berlaku
f(x,y) ≤ f(a,b)
(iv) minimum mutlak di (a,b) ∈ D, jika ∀ (x,y) ∈ D, berlaku
f(a,b) ≤ f(x,y)
Teorema:
Jika f merupakan fungsi dua peubah yang mempunyai ekstrem relatif di (xo,yo), maka ∇ f(xo,yo) = 0 = (0,0) atau ∇ f(xo,yo) tidak ada.
Akibat:
Jika fungsi dua peubah f terdiferensial di (x
o,yo) dan mencapai ekstrem di (x
o,yo), maka ∇ f(x
o,yo) = 0.
7:35:00 PM
|
by Bernad Adjie
Definisi:
Fungsi S pada ß dikatakan GESERAN jika terdapat vektor AB sehingga untuk setiap titik P ∊ ß.
PP' = AB
dengan P' = S(P)
Diambil titik sebarang P(x,y) dan P' = (x',y') = SAB (P) dengan
A = O = (0,0) dan B = (a,b)
Diperoleh
AB = ai + bj
9:46:00 PM
|
by Bernad Adjie
Mempelajari perubahan yang terjadi pada penyelesaian optimal jika dilakukan perubahan pada model.
Analisis Sensitivitas ada 2 macam:
1. Range optimalitas, dilakukan perubahan nilai pada salah satu koefisien fungsi tujuan.
Misal:
Pada max/min z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ...
dilakukan perubahan pada koefisien variabel pertama (x1) yaitu c1
- Menggunakan grafik
Langkah-langkah:
a. Tentukan 2 garis kendala yang mengapit garis selidik.
b. Tentukan gradien 2 garis kendala tersebut.
c. Tentukan gradien garis selidik.
d. Dari sini didapat mki ≤ mgs ≤ mkj
dengan
mki gradien garis kendala ke-i
mgs gradien garis selidik
mkj gradien garis kendala ke-j
Untuk fungsi tujuan z = c1x1 + c2x2, gradien garis selidiknya
mgs = - c1/c2
- Menggunakan tabel simpleks
Langkah-langkah:
a. Tulis ulang tabel optimal, dengan catatan nilai koefisien fungsi tujuan yang akan diubah dinyatakan dalam variabel (katakan ci).
b. Lakukan penghitungan ulang pada tabel optimal.
6:57:00 PM
|
by Bernad Adjie
Aturan permainan NIM
- Dua batang korek api diletakkan dalam 2 kotak dengan jumlah yang sama.
- Terdapat dua pemain. Pemain bermain secara bergantian.
- Setiap giliran, masing-masing pemain mengambil batang korek api dari salah satu kotak.
- Pemain mengambil satu atau dua korek api (tidak diperbolehkan tidak mengambil). Pemain hanya mengambil dari salah satu kotak saja.
- Pemain yang mengambil terakhir adalah pemain yang kalah.
Bentuk ekstensif permainan NIM
6:24:00 PM
|
by Bernad Adjie
Teorema Lagrange:
Diketahui fungsi f dengan peubah x dan y mempunyai ekstrem lokal (maksimum atau minimum lokal) di (xo,yo), dengan syarat g(x,y) = k. Jika f dan g terdiferensial pada suatu lingkaran pusat (xo,yo) dengan ∇g(xo,yo) = 0, maka terdapat konstanta λ dengan
∇f(xo,yo) = λ∇g(xo,yo) ...*
Bukti:
Katakan kurva g(x,y)=0 dalam persamaan vektor parameter diberikan dengan
r(t) = (x(t),y(t))
Katakan to merupakan nilai untuk t dengan
(xo,yo) = (x(to),y(to))
Dengan demikian, menurut yang diketahui g terdiferensial pada suatu lingkaran pusat (xo,yo), diperoleh r'(t) ada pada interval yang memuat to dan r'(t) ≠ 0.
Didefinisikan fungsi F atau satu peubah t, dengan
F(t) = f(x(t),y(t))
9:49:00 PM
|
by Bernad Adjie
Integral biasa dari vektor
Misalkan R(u) = R1(u)
i + R2(u) j+ R3(u) k suatu vector fungsi dengan variable scalar u, dengan R1(u), R2(u), R3(u) merupakan fungsi-fungsi kontinu pada interval [a, b]. Maka indefinite
integral dari R(u) didefinisikan dengan
Apabila terdapat suatu vector S(u) sedemikian hingga
maka
dengan c sebarang vector konstan.
Selanjutnya
definite integral pada selang [a, b] didefinisikan dengan
Integral garis
Misalkan r(u) = x(u) i +
y(u) j + z(u) k, dengan r(u) merupakan
vector letak titik (x,y,z). Didefinisikan kurva sederhana C menghubungkan titik P1(x(u1), y(u1), z(u1)) dan P2(x(u2), y(u2), z(u2)). Sebarang titik pada kurva C mempunyai vector letak r(u), dengan r(u) terdiferensial dan mempunyai derivative kontinu.
