|
Definisi:
Fungsi f : D ⊆ ℝ2 → ℝ dikatakan mencapai
(i) maksimum relatif di (a,b) ∈ D, jika terdapat r>0, dengan sifat ∀ (x,y) ∈ D, (x-a)2 +
(y-b)2 < r2 berlaku
f(x,y) ≤ f(a,b)
(ii) minimum relatif di (a,b) ∈ D, jika ∃ r>0, dengan sifat ∀ (x,y) ∈ D, (x-a)2 +
(y-b)2 < r2 berlaku
f(a,b) ≤ f(x,y)
(iii) maksimum mutlak di (a,b) ∈ D, jika ∀ (x,y) ∈ D, berlaku
f(x,y) ≤ f(a,b)
(iv) minimum mutlak di (a,b) ∈ D, jika ∀ (x,y) ∈ D, berlaku
f(a,b) ≤ f(x,y)
Teorema:
Jika f merupakan fungsi dua peubah yang mempunyai ekstrem relatif di (xo,yo), maka ∇ f(xo,yo) = 0 = (0,0) atau ∇ f(xo,yo) tidak ada.
Akibat:
Jika fungsi dua peubah f terdiferensial di (xo,yo) dan mencapai ekstrem di (xo,yo), maka ∇ f(xo,yo) = 0.
Definisi:
Titik (a,b,f(a,b)) disebut titik kritis jika ∇ f(xo,yo) = 0 =(0,0) atau ∇ f(xo,yo) tidak ada.
Syarat:
Titik kritis (a,b) menjadi pembuat ekstrem f ditentukan dengan Deret Taylor di sekitar (a,b).
Misalkan x-a = h dan y-b = k, diperoleh x = a+h dan y = b+k
Dengan demikian
Karena (a,b) merupakan titik kritis, maka fx (a,b) = 0 dan fy (a,b) = 0. Jadi
(h,k) → (0,0) mengakibatkan untuk suku dengan koefisien 1/k!, k ≥ 3 nilainya mendekati 0. Sehingga
Syarat f mencapai maksimum relatif di (a,b), f(a+h,b+k)-f(a,b) ≤ 0
Jadi fxx < 0, fyy(a,b)fxx(a,b)-[fxy(a,b)]2 > 0
Syarat f mencapai minimum relatif di (a,b), f(a+h,b+k)-f(a,b) ≥ 0
Jadi fxx > 0, fyy(a,b)fxx(a,b)-[fxy(a,b)]2 > 0Tes Lokal Ekstrem
Titik kritis (xo,yo) fungsi f dengan ∇ f(xo,yo) = 0 dan f mempunyai turunan parsial kontinu di setiap titik di dalam lingkaran pusat (xo,yo). Didefinisikan
△(x,y) = fyy(a,b)fxx(a,b)-[fxy(a,b)]2
(i) Jika △(x,y) > 0 dan fxx(a,b) < 0, maka f mencapai maksimum lokal di (xo,yo)(ii) Jika △(x,y) > 0 dan fxx(a,b) > 0, maka f mencapai minimum lokal di (xo,yo)
(iii) Jika △(x,y) < 0, maka f mempunyai titik saddle di (xo,yo)
(iv) Jika △(x,y) = 0 maka tes gagal
