11:30:00 PM
|
by Bernad Adjie
Ciri-ciri bilangan yang habis dibagi 2 adalah yang paling mudah, yaitu dengan melihat digit terakhir dari suatu bilangan. Apabila digit terakhir tersebut genap atau habis dibagi 2 maka bilangan yang dimaksud pasti juga habis dibagi 2. Sekalipun angka selain digit terakhir adalah angka genap, bilangan tersebut tetap habis dibagi 2. Sebagai contoh adalah 3751958, karena digit terakhirnya adalah 8 dan 8 habis dibagi 2, maka 3751958 juga habis dibagi 2. Sebagai bukti, apabila bilangan dituliskan dengan bentuk
, dengan c adalah satuan, sementara x adalah bilangan yang terdiri dari
sekian digit, sehingga bilangan tersebut bisa dinyatakan sebagai berikut
.
Terlihat bahwa, 10x pasti habis dibagi 2 karena 10 habis dibagi 2, secara otomatis bilangan tersebut habis dibagi 2 atau tidak bergantung pada
nilai c. Jika c habis dibagi 2 maka bilangan tersebut habis dibagi 2.
Jika c tidak habis dibagi 2 maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 2.
3:19:00 PM
|
by Bernad Adjie
Z* = Z x (Z – {0}) = {(m,n) | m,n Є Z, n ≠ 0}
Didefinisikan relasi R pada Z*
Akan dibuktikan bahwa relasi R merupakan relasi ekuivalensi.
Apakah R reflektif?
Ambil sebarang (m,n) Є Z* maka m.n=m.n (. dalam Z merupakan operasi biner)
Jadi R reflektif.
Apakah R simetris?
Ambil sebarang (m,n),(k,l) Є Z* sedemikian hingga (m,n) R (k,l)
Artinya m.l=n.k
. dalam Z berlaku sifat komutatif sehingga diperoleh
l.m=k.n atau k.n=l.m
Jadi R simetris.
Apakah R transitif?
Ambil sebarang (m,n),(k,l),(x,y) Є Z* dengan (m,n) R (k,l) dan (k,l) R (x,y)
10:36:00 PM
|
by Bernad Adjie
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu. FPB juga disebut dengan Greatest Common Divisor (GCD). Pada saat Sekolah Dasar, telah dipelajari bagaimana cara mencari FPB dari dua bilangan positif, yaitu dengan faktorisasi prima.
Sebagai contoh 4 dan 6
4=22
6=2.3
Sehingga FPB dari 4 dan 6 adalah 2 (karena 2 merupakan faktor yang sama dari kedua bilangan). Lalu bagaimana dengan bilangan yang ratusan bahkan ribuan? Tentu sulit apabila mencari FPB dengan cara faktorisasi prima. Untuk itu perlu dipelajari cara lain dalam mencari FPB dua bilangan positif, yaitu dengan algoritma euclide.
Apabila dicari gcd(a,b) dengan a dan b bilangan asli dan a>b, maka berdasarkan algoritma pembagian, akan terdapat bilangan bulat positif q dan r sehingga a=bq+r atau r=a-bq. Dari r=a-bq dapat diketahui bahwa setiap faktor persekutuan dari a dan b merupakan pembagi dari r. Untuk itu dapat disimpulkan bahwa gcd(a,b)=gcd(b,r). Jika r=0 maka gcd(a,b)=gcd(b,0)=b. Apabila r≠0, maka dapat dilakukan langkah yang sama pada b dan r yaitu terdapat bilangan bulat positif q1 dan r1 sehingga b=rq1+r1. Dengan alasan yang sama dapat disimpulkan bahwa gcd(b,r)=gcd(r,r1). Jika r1=0, maka gcd(b,r)=gcd(r,0)=r. Jika tidak, lakukan langkah diatas hingga diperoleh barisan r1, r2, …
10:19:00 PM
|
by Bernad Adjie
Pasti semuanya bisa menjawab pertanyaan tersebut. Bahkan anak SD pun tahu bahwa jawaban dari pertanyaan tersebut adalah tidak. Akan tetapi, apakah Anda tahu bagaimana cara membuktikan bahwa 3 tidak sama dengan 2? Mungkin pelajar SMA belum tentu tahu tentang hal ini.
Untuk dapat membuktikan bahwa 3 tidak sama dengan 2, perlu dikenalkan aksioma-aksioma yang belaku pada bilangan asli (N). Aksioma-aksioma ini lebih dikenal sebagai postulat Peano.
P1. x+1≠1, untuk setiap x anggota bilangan asli (N).
P2. Jika x+1=y+1 maka x=y, untuk setiap x,y anggota bilangan asli (N).
P3. x+(y+1)=(x+y)+1, untuk setiap x,y anggota bilangan asli (N).
P4. Jika untuk setiap G subset dari bilangan asli (N)
