|
Teorema Lagrange:
Diketahui fungsi f dengan peubah x dan y mempunyai ekstrem lokal (maksimum atau minimum lokal) di (xo,yo), dengan syarat g(x,y) = k. Jika f dan g terdiferensial pada suatu lingkaran pusat (xo,yo) dengan ∇g(xo,yo) = 0, maka terdapat konstanta λ dengan
∇f(xo,yo) = λ∇g(xo,yo) ...*
Bukti:
Katakan kurva g(x,y)=0 dalam persamaan vektor parameter diberikan dengan
r(t) = (x(t),y(t))
Katakan to merupakan nilai untuk t dengan
(xo,yo) = (x(to),y(to))
Dengan demikian, menurut yang diketahui g terdiferensial pada suatu lingkaran pusat (xo,yo), diperoleh r'(t) ada pada interval yang memuat to dan r'(t) ≠ 0.
Didefinisikan fungsi F atau satu peubah t, dengan
Karena f terdiferensial pada suatu lingkaran pusat (xo,yo), menurut aturan rantai, F'(t) ada, dengan
F'(t) = fx(x,y) dx/dt + fy(x,y) dy/dt ...**
Karena f mempunyai ekstrem di to. Dengan demikian F'(to)=0. Jadi menurut (**), diperoleh
fx(xo,yo).x'(to) + fy(xo,yo).y'(to) = 0
⇔ (fx(xo,yo),fy(xo,yo)).(x'(to),y'(to)) = 0
⇔ ∇f(xo,yo).r'(to) = 0
Karena r'(to) merupakan vektor singgung kurva g(x,y) = k, berarti ∇f tegak lurus kurva di titik (xo,yo). Kurva g(x,y) = k merupakan interpretasi level curve z = g(x,y), saat z = k. Karena ∇g tegak lurus level curve di setiap titik pada kurva, khususnya di (xo,yo), diperoleh ∇f(xo,yo) tegak lurus g(x,y) = k. Jadi
∇f(xo,yo) sejajar ∇g(xo,yo)
Berarti ∃λ ∊ ℝ, dengan ∇f(xo,yo) = λ.∇g(xo,yo) ∎
Catatan:
Selanjutnya λ di dalam teorema Lagrange disebut pengali Lagrange.
