Relasi Ekuivalensi

Relasi pada himpunan dikatakan sebagai relasi ekuivalensi apabila bersifat refleksif, simetris, dan transitif.

  • Relasi pada himpunan dikatakan refleksif jika setiap anggota berelasi dengan dirinya sendiri, atau dapat ditulis , dengan Є.
  • Relasi pada himpunan dikatakan simetris apabila untuk setiap dan di dalam berlaku jika maka demikian pula sebaliknya, atau dapat ditulis jika maka , dengan , Є.
  • Relasi pada dikatakan transitif apabila untuk setiap maka berlaku jika dan maka .

Sebagai contoh relasi yang memenuhi ketiga kondisi tersebut sehingga bisa disebut relasi ekuivalensi dalam geometri adalah relasi kesejajaran garis lurus. Selain itu contoh yang terkenal adalah relasi kongruen modulo, seperti berikut.

Diberikan bilangan bulat m ≠ 0, dua buah bilangan bulat dan dikatakan kongruen modulo (congruent modulo) jika terdapat bilangan bulat sedemikian hingga , atau dengan kata lain dinotasikan .

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa kongruen modulo merupakan relasi ekuivalensi

Simetri

Ambil sebarang bilangan bulat maka akan selalu , karena ada bilangan bulat , yaitu = 0 sehingga = + 0.m

Jadi terbukti simetris.

Refleksif

Ambil sebarang bilangan bulat dan dengan , artinya

kalikan dengan -1 diperoleh

Dengan kata lain

Jadi terbukti refleksif.

Transitif

Ambil sebarang bilangan bulat , , dan c dengan dan , subtitusi sehingga diperoleh

dapat disimpulkan

Jadi terbukti transitif.

Karena memenuhi sifat simetris, refleksif, dan transitif maka relasi kongruen modulo merupakan relasi ekuivalensi.

Selanjutnya apabila diberikan himpunan dan relasi pada adalah relasi ekuivalensi maka terdapat partisi Р pada sedemikian sehingga terpartisi atau terpecah atas himpunan-himpunan bagian yang disebut kelas ekuivalensi. Apabila adalah relasi ekuivalensi maka untuk semua terdapat suatu himpunan yang berisikan semua anggota yang berelasi ke , dinotasikan:

Sebagai contoh relasi kongruen modulo pada bilangan bulat yang telah dibuktikan sebagai relasi ekuivalensi. Untuk itu himpunan bilangan bulat akan terpartisi menjadi kelas, yang tiap kelasnya mempunyai bentuk

Sebagai contoh untuk , setiap baris dibawah ini merupakan kelas-kelas ekuivalensi

[0] = {…, -10, -5, 0, 5, 10, …}

[1] = {…, -9, -4, 1, 6, 11, …}

[2] = {…, -8, -3, 2, 7, 12, …}

[3] = {…, -7, -2, 3, 8, 13, …}

[4] = {…, -6, -1, 4, 9, 14, …}

[5] = {…, -5, 0, 5, 10, 15, …} = [0]

Sehingga .

0 komentar:

Poskan Komentar