|
Aturan perkalian merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan atau menghitung banyaknya cara suatu kejadian. Selain aturan perkalian ini, juga terdapat permutasi dan kombinasi.
Prinsip dasar dalam aturan perkalian adalah:
"Jika kejadian pertama terjadi dengan n1 cara, kejadian kedua terjadi dengan n2 cara, kejadian ketiga terjadi dengan n3 cara, dan seterusnya maka kejadian-kejadian dengan urutan tersebut dapat terjadi dengan (n1 × n2 × n3 × ...) cara."
Sebagai contoh adalah ketika kita akan menghitung berapa banyak cara yang dapat dipilih ketika kita akan menuju kota C dari kota A melalui kota B, apabila diketahui dari kota A ke kota B terdapat 3 jalan, sedangkan dari kota B ke kota C terdapat 2 jalan.
Pada kasus ini, kejadian pertama adalah perjalanan dari kota A ke kota B dan kejadian kedua adalah perjalanan dari kota B ke kota C. Seperti yang sudah diketahui, kejadian pertama terjadi dengan 3 cara, sedangkan kejadian kedua terjadi dengan 2 cara. Akibatnya, banyak kejadian dengan urutan kejadian pertama dilanjutkan kejadian kedua adalah 3 × 2 = 6. Jadi banyaknya cara dari kota A ke kota C melalui kota B ada 6 cara.
Selain dengan menggunakan aturan perkalian, contoh seperti di atas dapat diselesaikan dengan cara melakukan pencacah. Misalkan kita bisa menamai jalan dari kota A ke B adalah jalan A1, A2, dan A3, sedangkan jalan dari kota B ke kota C adalah jalan C1 dan C2. Dengan melakukan pencacahan, dari kota A ke kota C melalui kota B dapat ditempuh dengan jalan A1 dilanjutkan C1, jalan A2 dilanjutkan C2, jalan A2 dilanjutkan C1, jalan A2 dilanjutkan C2, jalan A3 dilanjutkan C1, dan jalan A3 dilanjutkan C2. Atau supaya lebih sederhana dapat ditulis menjadi (A1,C1), (A1, C2), (A2, C1), (A2, C2), (A3, C1), dan (A3, C2). Terlihat bahwa banyaknya cara dari kota A ke kota C melalui kota B ada 6 cara. Metode pencacahan ini sangat riskan terhadap ketidaktelitian dalam melakukan pencacahan, karena apabila ada banyak kejadian yang memiliki banyak cara, akan menjadi lebih rumit.
Contoh lain yang mirip dengan contoh sebelumnya adalah ketika kita akan menghitung banyaknya cara memakai pakaian ketika kita mempunyai 5 buah baju dengan warna berbeda dan 9 celana dengan warna berbeda. Langsung saja kita gunakan aturan perkalian, jadi banyaknya cara memakai pakaian adalah 5 × 9 = 45 cara.
Kasus lain yang penyelesaiannya dapat menggunakan aturan perkalian adalah menyusun angka. Sebagai contoh adalah apabila dari angka 2, 3, 5, 7, dan 9, kita diharuskan menyusun bilangan ribuan dan boleh berulang.
Dalam menyelesaikan soal seperti ini, akan lebih mudah ketika kita membuat kotak sebagai tempat banyaknya bilangan yang mungkin untuk diletakkan. Pada soal disebutkan bahwa bilangan yang akan kita susun adalah bilangan ribuan, yang merupakan bilangan yang terdiri atas 4 angka, sehingga perlu disediakan 4 kotak seperti _ _ _ _ . Kotak pertama merupakan kotak untuk banyaknya bilangan sebagai ribuan, kotak kedua sebagai ratusan, kotak ketiga sebagai puluhan, dan kotak terakhir sebagai satuan. Dari angka 2, 3, 5, 7, dan 9 semuanya dapat kita letakkan sebagai ribuan, sehingga banyaknya angka yang mungkin adalah 5 untuk kotak pertama atau ditulis 5 _ _ _ . Karena boleh berulang, maka angka 2, 3, 5, 7, dan 9 semuanya dapat kita gunakan juga pada ratusan, sehingga menjadi 5 5 _ _ . Begitu juga dengan puluhan dan satuan. Akibatnya kotak menjadi 5 5 5 5 . Hasilnya adalah 5 × 5 × 5 × 5 = 625. Jadi banyaknya cara menyusun bilangan ribuan dan boleh berulang dari angka 2, 3, 5, 7, dan 9 adalah 625 cara.
Apabila soal kita rubah sedikit menjadi tidak boleh berulang, maka kita dapat isi kotak pertama dengan 5 dengan penjelasan seperti pada soal sebelumnya. Selanjutnya, pada kotak kedua kita isi dengan 4. hal ini dikarenakan salah satu angka dari 2, 3, 5, 7, dan 9 sudah kita gunakan pada angka ribuan dan tidak bisa kita gunakan lagi pada angka ratusan karena terdapat syarat tidak boleh berulang. Begitu juga dengan kotak puluhan akan kita isi dengan 3 karena 2 angka sudah kita gunakan sebelumnya. Dan kotak satuan dapat diisi dengan 2, dengan penjelasan yang sama. Akibatnya diperoleh kotak 5 4 3 2 . Jadi banyaknya cara menyusun bilangan ribuan dan tidak boleh berulang dari angka 2, 3, 5, 7, dan 9 adalah 5 × 4 × 3 × 2 = 120.
Dengan menambahkan satu syarat lain yaitu bilangan yang dimaksud adalah bilangan genap, maka dapat diselesaikan sebagai berikut. Untuk memperjelas, pada bagian ini syaratnya adalah bilangan ribuan genap dan tidak boleh berulang. Bilangan ribuan genap terjadi apabila angka satuannya adalah angka genap. Selanjutnya untuk menyelesaikannya, kita harus mulai mengisi kotak mulai dari belakang. Angka genap yang dapat diisikan pada angka satuan hanyalah angka 2, jadi ada sebanyak 1, sehingga kotak menjadi _ _ _ 1 . Untuk langkah berikutnya bisa dimulai dari depan atau dari kotak ketiga, hasilnya akan sama. Karena tidak boleh berulang, maka kotak berikutnya dapat diisi dengan 4 angka, yaitu 3, 5, 7, dan 9. Sebenarnya angka selanjutnya ini tidak ada syarat untuk genap ataupun ganjil. Pada soal ini yang genap hanyalah 1 angka sedangkan sisanya ganjil. Setelah pengisian kedua, kotak menjadi _ _ 4 1 . Berikutnya seperti pada penyelesaian kasus sebelumnya, kita dapat menggunakan 3 angka pada kota selanjutnya dan 2 angka pada kotak terakhir. Akibatnya hasilnya adalah 2 3 4 1 . Jadi banyaknya cara menyusun bilangan ribuan genap dan tidak boleh berulang dari angka 2, 3, 5, 7, dan 9 adalah 2 × 3 × 4 × 1 = 24.
