|
Judul skripsi yang saya ajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika adalah Kekonvergenan Skema Iterasi Dua Pemetaan Nonekspansif ke suatu Titik Tetap Bersama atau apabila diterjemahkan dalam bahasa Inggris Convergence of an Iteration Scheme with Two Nonexpansive Mappings to a Common Fixed Point. Skripsi ini menggunakan referensi utama dari sebuah artikel yang ditulis oleh Safeer Hussain Khan dan Jong Kyu Kim dengan judul Common Fixed Points of Two Nonexpansive Mappings by a Modified Faster Iteration Scheme. Artikel ini diterbitkan dalam Bull. Korean Math. Soc. 47 (2010).
Pada artikel yang ditulis oleh Khan dan Kim, disebutkan bahwa iterasi Picard (Picard iteration) merupakan barisan pada ruang Banach X, yaitu {xn} dengan
Untuk T pemetaan kontraksi, barisan tersebut konvergen ke suatu titik tetap T, sedangkan untuk T pemetaan nonekspansif, iterasi Picard ini belum tentu konvergen. Selanjutnya muncul skema iterasi dengan T pemetaan nonekspansif dan apabila disertai beberapa syarat cukup, skema iterasi itu akan konvergen ke titik tetap T. Skema iterasi yang dimaksud adalah iterasi Mann (Mann iteration), yang didefinisikan sebagai
dengan {αn} dan {βn}
berada pada interval (0,1) serta P merupakan pemetaan retraksi nonekspansif dari X ke E.
dengan {αn} berada pada interval (0,1). Setelah itu Ravi P. Agarwal dkk memperkenalkan skema iterasi
dengan {αn} dan {βn}
berada pada interval (0,1).
Pada skripsi saya skema iterasi yang digunakan merupakan skema iterasi yang merupakan perumuman dari skema iterasi Mann dan skema iterasi yang diperkenalkan oleh Ravi P. Agarwal dkk. Skema iterasi yang dimaksud merupakan barisan pada E subruang dari ruang Banach X, yaitu
dengan {αn} dan {βn}
berada pada interval (0,1). Selanjutnya akan diselidiki syarat cukup sehingga skema iterasi tersebut konvergen seragam ke suatu titik tetap bersama, dengan T dan S merupakan pemetaan nonekspansif dengan domain dan kodomain yang sama, maupun dengan T dan S merupakan pemetaan nonekspansif dengan domain dan kodomain yang berbeda. Untuk kasus T dan S merupakan pemetaan dengan domain dan kodomain berbeda, perlu menyisipkan pemetaan retraksi nonekspansif pada skema iterasi yang digunakan, sehingga skema iterasi menjadi
Selain menggunakan artikel utama, digunakan juga buku berjudul Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications yang ditulis oleh Ravi P. Agarwal, Donal O'Regan, dan D. R. Sahu sebagai pendukung. Sempat mengirim email pada ketiga penulis ini karena satu pembuktian yang kurang paham, saat itu salah satu membalas, tetapi sayangnya balasannya menyuruh penulis yang lain untuk menjawab, dan sampai saat ini belum ada jawaban tentang itu.
