8:48:00 PM
|
by Bernad Adjie
Terbatas ke Atas
Diketahui himpunan A ⊂ ℝ
A dikatakan terbatas ke atas jika ∃ b ∈ ℝ sedemikian hingga x ≤ b, ∀ x ∈ A
b disebut batas atas A
Jika b batas atas A dan c > b, maka c juga batas atas A.
Jadi, jika A terbatas ke atas maka ada tak hingga banyak batas atas A.
Batas atas A yang paling kecil, disebut supremum A, yang ditulis: sup A.
(i) b batas atas A
(ii) c batas atas A ⇒ b ≤ c
(i) b batas atas A
(ii) c < b ⇒ c bukan batas atas A
- jika b = sup A dan c < b, maka ∃ xo ∈ A sedemikian hingga c < xo
Terbatas ke Bawah
5:36:00 PM
|
by Bernad Adjie
Definisi:
Fungsi f : D ⊆ ℝ2 → ℝ dikatakan mencapai
(i) maksimum relatif di (a,b) ∈ D, jika terdapat r>0, dengan sifat ∀ (x,y) ∈ D, (x-a)2 +
(y-b)2 < r2 berlaku
f(x,y) ≤ f(a,b)
(ii) minimum relatif di (a,b) ∈ D, jika ∃ r>0, dengan sifat ∀ (x,y) ∈ D, (x-a)2 +
(y-b)2 < r2 berlaku
f(a,b) ≤ f(x,y)
(iii) maksimum mutlak di (a,b) ∈ D, jika ∀ (x,y) ∈ D, berlaku
f(x,y) ≤ f(a,b)
(iv) minimum mutlak di (a,b) ∈ D, jika ∀ (x,y) ∈ D, berlaku
f(a,b) ≤ f(x,y)
Teorema:
Jika f merupakan fungsi dua peubah yang mempunyai ekstrem relatif di (xo,yo), maka ∇ f(xo,yo) = 0 = (0,0) atau ∇ f(xo,yo) tidak ada.
Akibat:
Jika fungsi dua peubah f terdiferensial di (x
o,yo) dan mencapai ekstrem di (x
o,yo), maka ∇ f(x
o,yo) = 0.
7:35:00 PM
|
by Bernad Adjie
Definisi:
Fungsi S pada ß dikatakan GESERAN jika terdapat vektor AB sehingga untuk setiap titik P ∊ ß.
PP' = AB
dengan P' = S(P)
Diambil titik sebarang P(x,y) dan P' = (x',y') = SAB (P) dengan
A = O = (0,0) dan B = (a,b)
Diperoleh
AB = ai + bj
9:46:00 PM
|
by Bernad Adjie
Mempelajari perubahan yang terjadi pada penyelesaian optimal jika dilakukan perubahan pada model.
Analisis Sensitivitas ada 2 macam:
1. Range optimalitas, dilakukan perubahan nilai pada salah satu koefisien fungsi tujuan.
Misal:
Pada max/min z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ...
dilakukan perubahan pada koefisien variabel pertama (x1) yaitu c1
- Menggunakan grafik
Langkah-langkah:
a. Tentukan 2 garis kendala yang mengapit garis selidik.
b. Tentukan gradien 2 garis kendala tersebut.
c. Tentukan gradien garis selidik.
d. Dari sini didapat mki ≤ mgs ≤ mkj
dengan
mki gradien garis kendala ke-i
mgs gradien garis selidik
mkj gradien garis kendala ke-j
Untuk fungsi tujuan z = c1x1 + c2x2, gradien garis selidiknya
mgs = - c1/c2
- Menggunakan tabel simpleks
Langkah-langkah:
a. Tulis ulang tabel optimal, dengan catatan nilai koefisien fungsi tujuan yang akan diubah dinyatakan dalam variabel (katakan ci).
b. Lakukan penghitungan ulang pada tabel optimal.
6:57:00 PM
|
by Bernad Adjie
Aturan permainan NIM
- Dua batang korek api diletakkan dalam 2 kotak dengan jumlah yang sama.
- Terdapat dua pemain. Pemain bermain secara bergantian.
- Setiap giliran, masing-masing pemain mengambil batang korek api dari salah satu kotak.
- Pemain mengambil satu atau dua korek api (tidak diperbolehkan tidak mengambil). Pemain hanya mengambil dari salah satu kotak saja.
- Pemain yang mengambil terakhir adalah pemain yang kalah.
Bentuk ekstensif permainan NIM
6:24:00 PM
|
by Bernad Adjie
Teorema Lagrange:
Diketahui fungsi f dengan peubah x dan y mempunyai ekstrem lokal (maksimum atau minimum lokal) di (xo,yo), dengan syarat g(x,y) = k. Jika f dan g terdiferensial pada suatu lingkaran pusat (xo,yo) dengan ∇g(xo,yo) = 0, maka terdapat konstanta λ dengan
∇f(xo,yo) = λ∇g(xo,yo) ...*
Bukti:
Katakan kurva g(x,y)=0 dalam persamaan vektor parameter diberikan dengan
r(t) = (x(t),y(t))
Katakan to merupakan nilai untuk t dengan
(xo,yo) = (x(to),y(to))
Dengan demikian, menurut yang diketahui g terdiferensial pada suatu lingkaran pusat (xo,yo), diperoleh r'(t) ada pada interval yang memuat to dan r'(t) ≠ 0.
Didefinisikan fungsi F atau satu peubah t, dengan
F(t) = f(x(t),y(t))
9:49:00 PM
|
by Bernad Adjie
Integral biasa dari vektor
Misalkan R(u) = R1(u)
i + R2(u) j+ R3(u) k suatu vector fungsi dengan variable scalar u, dengan R1(u), R2(u), R3(u) merupakan fungsi-fungsi kontinu pada interval [a, b]. Maka indefinite
integral dari R(u) didefinisikan dengan
Apabila terdapat suatu vector S(u) sedemikian hingga
maka
dengan c sebarang vector konstan.
Selanjutnya
definite integral pada selang [a, b] didefinisikan dengan
Integral garis
Misalkan r(u) = x(u) i +
y(u) j + z(u) k, dengan r(u) merupakan
vector letak titik (x,y,z). Didefinisikan kurva sederhana C menghubungkan titik P1(x(u1), y(u1), z(u1)) dan P2(x(u2), y(u2), z(u2)). Sebarang titik pada kurva C mempunyai vector letak r(u), dengan r(u) terdiferensial dan mempunyai derivative kontinu.
